Publication: Completez y categoricidad en Hilbert. El caso de los números reales.
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Date
2010-03-02
Authors
Arboleda Aparicio, Luis Carlos
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Publisher
Universidad del Valle
Abstract
La enseñanza de los números reales (R) constituye un problema altamente sensible para los docentes y la comunidad de investigadores en Educación Matemática, particularmente en los niveles de media superior y básica universitaria. Entre las disciplinas que aportan a este campo en el tratamiento de este problema se encuentran la historia y la filosofía de las matemáticas.
La dimensión histórica y epistemológica que proponemos desarrollar ha de contribuir a una mejor ubicación del docente en el reconocimiento y clasificación del tipo de dificultades que se presentan en la enseñanza de R. Existen dificultades inherentes a la naturaleza de R, que se reconocen como obstáculos epistemológicos, las cuales exigen un tratamiento distinto a otro tipo de dificultades, asociadas a diversos aspectos tales como los relacionados con el tipo de estrategia diseñada, las instituciones, los fenómenos sociales, etc. En relación con el primer tipo de dificultades vale la pena señalar que la formalización y axiomatización de R es producto de la evolución y ascensión del pensamiento a un elevado nivel de abstracción y simplicidad; características conseguidas en una extensa búsqueda de rigor y economía de pensamiento. No obstante este reconocimiento, es menester tener conciencia del grado de complejidad que necesariamente se sintetiza y se oculta detrás de la presentación axiomática y formal de este objeto matemático. En particular, la propiedad de completez es una de las nociones más complejas en los procesos de aprehensión de R.
Las presentaciones usuales de R se acogen de una u otra manera a la formulación topológica de Cantor y Dedekind ofrecida en el siglo XIX. Sin embargo, actualmente se promueve de manera naciente en Europa y Estados Unidos una nueva forma de comprender R, agenciada desde una visión logicista de las matemáticas, e inspirada en los trabajos de Frege, particularmente en sus principios de abstracción. Esto explica que los estudios históricos, epistemológicos sobre la completez y la categoricidad de los sistemas axiomáticos, particularmente en geometría y los reales, sea uno de los campos de mayor interés en las investigaciones contemporáneas. Los historiadores del formalismo matemático tratan de desentrañar en el pensamiento dinámico de Hilbert, por ejemplo, sus ideas sobre el lugar de la categoricidad en las teorías deductivas, y su función lógica en la caracterización de determinado dominio de objetos. Nuestro grupo de investigación ha venido trabajando sobre el tema de la objetividad matemática, particularmente en lo relacionado con la constitución de los números reales. En el marco de esta experiencia nos hemos encontrado frente a la necesidad de ahondar en el pensamiento categórico de Hilbert. El análisis de la problemática de completez y categoricidad ha venido renovando en los últimos años los enfoques sobre la objetividad de los reales. Los neologistas (Hale y Wrigth), al reformular algunos de los trabajos del último Frege, retoman su programa para la caracterización de R, indagan sobre nuevos criterios lógicos que permitan mantener su principio de abstracción.