Publication: Desarrollo de un Software para la Solución de Ecuaciones Diferenciales que sirva como Herramienta Pedagógica en Cursos de Ingeniería y Ciencias Básicas.
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Date
2006
Authors
Toro Botero, Francisco Mauricio
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Abstract
Fenómenos naturales como el transporte por difusión de un contaminante, de calor, como el de las redes de flujo en términos de la función de potencial de velocidades y de la función de corriente, como el de flujo en medios porosos, y el potencial eléctrico, entre otros, son fenómenos que se describen mediante ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico. La más sencilla de estas ecuaciones, conocida como la ecuación lineal del calor (incluyendo el término no Permanente) donde T representa la concentración del contaminante, o la temperatura, o las funciones de corriente y potencial o el potencial eléctrico o el potencial hidráulico en el flujo en medios porosos; t es la coordenada temporal y 2 es el operador Laplaciano. Esta no será la única ecuación a la que se refiere este proyecto pero la utilizaremos como problema modelo.
La ecuación, afortunadamente, tiene solución analítica para una gran variedad de casos, la mayoría de ellos en geometrías simples. Para aplicaciones con geometrías complicadas, hoy en día se cuenta con una gran variedad de técnicas numéricas que proveen una solución aproximada a dicha ecuación.
Desde el punto de vista de la pedagogía, es muy importante que el estudiante de ingeniería adquiera los conocimientos necesarios para la aplicación de dicha ecuación a los casos de su práctica profesional. Por otro lado, los estudiantes de ciencias básicas deben adquirir la destreza de entender el significado físico de dicha ecuación para pasar del campo abstracto al campo real. De esta manera, la ecuación y las demás asociadas, presentan un amplio campo de análisis tanto desde el punto de vista teórico (estrictamente matemático, abstracto) como desde el punto de vista práctico (aplicaciones a problemas de ingeniería).
En este proyecto se propone el desarrollo de un software amigable para resolver la ecuación y las demás que se planteen. La base para este desarrollo será MATLAB, el cual está disponible en la intranet de la Universidad. El software se construye en tres módulos: un primer módulo de pre-procesamiento de información (se define la geometría, condiciones de frontera y parámetros numéricos del caso en estudio); un segundo módulo que se encarga de la solución de la ecuaciones, de forma analítica en los casos más sencillos y en todos los casos, de forma numérica. El tercer módulo es de pos-procesamiento y permite la visualización de las soluciones obtenidas en el módulo 2. El software desarrollado puede ser utilizado en cursos de pre y posgrado en Ingeniería, física, química y matemáticas.
El software propuesto facilitará al estudiante el estudio de aspectos teóricos de la solución analítica, aspectos teóricos de la solución numérica, aspectos físicos de la ecuación y su injerencia en la solución, etc. Este software se puede utilizar en el contexto de temas de aplicación en cursos de ecuaciones diferenciales, de hidrodinámica, de calidad de aguas, de flujo en medios porosos, de electrónica, etc.