Publication: Operadores pseudodiferenciales Banach vector-valuados en el toro n-dimensional.
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Date
2013-03-20
Authors
Barraza Martínez, Bienvenido
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Abstract
En este proyecto se pretende definir espacios de Besov Bspq(Tn,E) y de Sobolev Wkp(Tn,E) en el toro n-dimensional Tn (n mayor que 1 y k entero no negativo) E-valuados, donde E es un espacio de Banach arbitrario, analizar sus propiedades, definir operadores pseudodiferenciales vector-valuados en el toro Tn y obtener resultados de generación de semigrupos analíticos en los espacios de Besov y de Sobolev mencionados. Además, a manera de aplicación, se buscarán resultados de existencia y unicidad de soluciones para el problema de Cauchy periódico:
(dU/dt)(t) + a(D)U(t) = f(t), t>0,
U(0)=Uo,
donde la incógnita U(t) toma valores en X, siendo X el espacio de Besov Bspq(Tn,E) o el espacio de Sobolev Wkp(Tn,E), a(D) es un operador pseudodiferencial periódico con símobolo operador-valuado de Zn (el látice n-dimensional de los enteros) en L(E) (el espacio de los operadores lineales acotados en E), el dato inicial Uo es una función periódica E-valuada dada y f es una función Hölder continua con valores en X también dada. Una dificultad de este problema es que el operador a(D), de Lp(Tn,E) en Lp(Tn,E), para p mayor o igual que 1, no siempre es continuo si E es un espacio de Banach no reflexivo.
El tema de nuestra propuesta en general se enmarca en la teoría de los operadores pseudodiferenciales con aplicaciones a las ecuaciones de evolución, y en particular en la teoría de los operadores pseudodiferenciales periódicos vector valuados y sus aplicaciones a problemas de Cauchy periódicos.
La mayoría de los resultados y aplicaciones acerca de operadores pseudodiferenciales periódicos están dados en el caso escalar, mientras que en el caso vector-valuado, el espacio E es un espacio de Banach UMD (y por lo tanto reflexivo). Al parecer, en la literatura existente (al menos en lo que nuestra búsqueda indica), resultados acerca de multiplicadores de Fourier (es decir resultados sobre continuidad de operadores pseudodiferenciales) en espacios de Besov Bspq(Tn,E) con E un espacio de Banach arbitrario solo aparecen en [AB04], pero para n = 1 y símbolos de orden cero y no hay resultados relativos a multiplicadores de Fourier en Bspq(Tn,E) y de generación de semigrupos analíticos por parte de operadores pseudodiferenciales periódicos Banach valuados, de orden arbitrario, sobre Bspq(Tn,E) y Wkp(Tn,E), con n mayor o igual a 2, k entero no negativo y E espacio de Banach arbitrario. Con el proyecto se pretende llenar este vacío en la literatura especializada alrededor del tema y aplicar los resultados obtenidos a problemas de Cauchy periódicos del tipo considerado arriba, contribuyendo así con un aporte al tratamiento de problemas sobre espacios de funciones o distribuciones (en general no reflexivos) que no pueden ser tratados con la teoría existente.
La metodología a usar será la tradicional en la investigación en Matemáticas, esto es, se estudiará y analizará la teoría existente alrededor del tema que se encuentra publicada en diversos textos y papers, y luego se conjeturarán uno o más resultados y se intententará hacer la demostración o refutación de ellos. En el proyecto se contará con la participación de dos investigadores de universidades alemanas y de dos estudiantes del programa de maestría de la Universidad del Norte, estos dos últimos en calidad de auxiliares de investigación y se espera que desarrollen sus trabajos de grado en tópicos necesarios para la misma. También se espera poder publicar 2 artículos con los resultados del proyecto y de los trabajos de grado mencionados. Estos resultados se comunicarán en encuentros científicos nacionales o internacionales y también en forma virtual.