Publication: Construcción de conjuntos Bh[g] propiedad de Midy, algunas aplicaciones.
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Date
2017-01
Authors
Trujillo Solarte, Carlos Alberto
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Abstract
Parte I. Algunos Problemas Aditivos.
Sean (G,+) un grupo conmutativo, notado aditivamente, A un subconjunto de G, g y h enteros positivos. A es un conjunto Bh[g], sobre G, si todo x en G puede representarse como suma de h elementos de A en a lo sumo g formas distintas. Cuando el grupo es el de los enteros, los conjuntos Bh[1] se llaman conjuntos Bh y los conjuntos B2 se denominan conjuntos de Sidon. Cuando el grupo es el de los enteros módulo m, hablamos de conjuntos Bh módulo m, conjuntos de Sidon módulo m, etc.
El problema fundamental consiste en construir ""buenos"" conjuntos Bh[g] dentro de cada ""grupo ambiente"", donde la ""bondad"" se mide según el número de elementos que tiene el conjunto.
Parte II. La Propiedad de Midy y Seudoprimos
Sean b>1 (base de numeración), N>0 con mcd(N,b)=1, o(b,N) el orden de b en el grupo multiplicativo de unidades módulo N, U(N), x en U(N), d>1, k>=1 tales que e=o(b,N)=dk.
Al representar la fracción x/N en base b se tiene: (x/N)=0.(a1a2...ae), donde los paréntesis indican el periodo y los ai son dígitos en base b. Si se divide el periodo en d bloques de longitud k y se representa mediante Aj al j-ésimo bloque en base b, y mediante S(d,x) a la suma de los d bloques, decimos que N tiene la propiedad de Midy para b y d si para todo x en U(N) la suma S(d,x) es múltiplo de b^k-1.
Definir el conjunto Midy de N para la base b como M(b,N):={d>0: N tiene la propiedad Midy para b y d}, este conjunto está contenido en el conjunto de los divisores mayores que 1 del orden de b módulo N, o(b,N). En [CGPVS11] caracterizamos algunos enteros N para los cuales |M(b,N)|<=1. Ahora, si p es primo y p no divide a b, entonces M(b,p)={d>1: d divide a o(b,p) }, así que M(b,p) es de cardinal máximo. Este hecho implica la definición de un ""nuevo"" concepto: un seudoprimo de Midy es un compuesto N tal que el conjunto M(b,N) es igual al conjunto de todos los divisores mayores que 1 del orden de b módulo N.
OBJETIVO GENERAL
Sistematizar los resultados obtenidos y los métodos utilizados por el grupo ALTENUA durante la ejecución de sus proyectos de investigación y durante la dirección de trabajos de grado, trabajos de investigación y tesis con el propósito de estudiar la incidencia de la ciclotomía en los conjuntos Bh[g] y en la propiedad de Midy y utilizar ésta para avanzar y mejorar el conocimiento que hoy se tiene, a la vez que buscar aplicaciones de estos resultados tanto a la misma matemática como dentro de las comunicaciones.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
PARTE I.
Realizar revisiones detallada de los métodos conocidos para la construcción de buenos conjuntos Bh[g] en grupos específicos y de las aplicaciones conocidas de los conjuntos Bh.
Diseñar nuevos métodos o algoritmos para construir conjuntos Bh[g] en diversos grupos, en particular utilizar la teoría de ciclotomía para intentar construir conjuntos Bh.
PARTE II.
Caracterizar eficientemente los seudoprimos de Midy y diseñar los algoritmos correspondientes.
Investigar sobre la suma de los elementos de un subgrupo cíclico del grupo de unidades módulo N, su relación con los multiplicadores, la propiedad de Midy y con el conjunto M(b,N).
LA CONEXIÓN Y APLICACIONES
Identificar hasta que extensión los polinomios ciclotómicos son un puente entre las dos partes temáticas presentadas en este proyecto.
Identificar futuras aplicaciones de los conjuntos Bh[g] y de los seudoprimos de Midy en la teoría matemática de la comunicación.
Impactos en el conocimiento del campo de estudio.
Esperamos:
*Identificar procesos que permitan ampliar la caracterización de los seudoprimos de Midy y sus conexiones con otros tipos de números especiales de la teoría de números.
*Comprender mejor las relaciones entre los polinomios ciclotómicos y la propiedad de Midy, e intentar identificar relaciones entre ellos y la construcción de conjuntos Bh.