Acevedo, MyriamFalk de Losada, Mary2023-12-132023-12-131997https://repositorio.minciencias.gov.co/handle/20.500.14143/499862 documentosEste texto, que está pensado básicamente para formación de docentes de matemáticas de nivel medio, es el resultado principal del proyecto de investigación "Creación de alternativas para el mejoramiento de la enseñza del Algebra" que bajo el auspicio de Colciencias y de la Universidad Nacional de Colombia desarrollamos entre 1993 y 1996. En el, hemos intentado plasmar nuestras concepciones acerca de lo que debería ser la formación de los docentes de la educación básica y media en est a área. En primer lugar, en estas páginas se explicitan significativamente nexos entre la "teoría formal" del álgebra moderna y las "nociones elementales" de la aritmética y el álgebra de la secundaria. Un cuidadoso examen histórico permite mostrar, por ejemplo, cómo los temas y métodos del álgebra escolar evolucionaron hasta transformarse en la llamada álgebra moderna. En segundo lugar) la estructura y planteamientos incluyen problemas de diversos niveles, puntos de discusión y puntos de investigación) en el texto están orientados a desarrollar y enriquecer el pensamiento matemático de los docentes en formación. El desarrollo histórico del conocimiento algebraico revela la actividad y el pensamiento matemáticos en estado de evolución; se enfrenta al lector por ejemplo, a analizar cómo el desarrollo de algoritmos para solucionar ecuaciones abrió caminos hacia la construcción de significado y hacia la generalidad. En tercer lugar, aquí se abordan a fondo los nexos entre el álgebra por una parte, y la teoría de números y el cálculo por otra. En el contexto de métodos de solución de ecuaciones se exploran también los nexos entre el álgebra y la geometría, y un estudio de la solución de ecuaciones por aproximación desemboca como es natural en la generación de métodos numéricos. Es importante anotar, además, que al interior del texto se plantean algunas alternativas metodológicas en la presentación de los diferentes temas. Finalmente, característica fundamental del texto es que se invita a un proceso continuo de construir, profundizar y ampliar. El libro consta de diez capítulos que van desde la teoría de ecuaciones al álgebra moderna y su eje central es el problema de la solubilidad de ecuaciones polinómicas que estuvo, y sigue estando, significativamente ligada al planteamiento y solución de problemas fundamentales de la matemática.1 Ecuaciones lineales 1 1.1 Un nuevo examen de temas conocidos . ..... .. .. 1 1.2 Métodos de solución de ecuaciones lineales en la historia 5 1.2.1 Los métodos egipcios de solución de una ecuación lineal 6 1.3 Ecuaciones lineales con solución en números enteros 9 1.3.1 Divisibilidad · . .. ... . .. .... .. . 10 1.3.2 Propiedades elementales de la divisibilidad. 11 1.3.3 Algoritmo de Euclides. . . . . . . . . . . . . 12 1.3.4 Representación del máximo común divisor de dos números .......... 13 1.3.5 Contraste de enfoques 15 1.4 Ecuaciones diofánticas lineales . 16 1.5 Fracciones continuas · . . ... 19 1.5.1 Notación básica y ejemplos 19 1.5.2 Propiedades básicas de las fracciones continuas 21 1.6 Solución de ecuaciones diofánticas lineales en enteros positivos 24 1.7 Aritmética modular · ... .. .... .. . .. .. . . . 25 1.7.1 Solución de ecuaciones lineales en los racionales . 27 1.8 U nos comentarios acerca de sistemas de ecuaciones lineales 28 1.8.1 La solución de sistemas de ecuaciones lineales en la China .. . . .. . 28 1.8.2 Métodos perdidos. 31 1.9 Problemas del capítulo . . 33 2 Ecuaciones cuadráticas 35 2.1 Solución de ecuaciones cuadráticas en Babilonia. 35 2.2 Ecuaciones diofánticas cuadrát.icas .. . . .... 41 2.2.1 La tabla babilónica de triplas pitagóricas. 2.2.2 El llamado Teorema de Pitágoras . 2.3 El tratamiento de los pitagóricos .. 41 43 44 2.3.1 Solución pitagórica de la ecuación x2 - 2y2 = ±1 en enteros. . . . . . 46 2.4 El desarrollo de una base teórica y una fundamentación 49 2.4.1 El tema del sistema demostrativo. 2.4.2 Nuevas direcciones del álgebra de los griegos 2.5 El álgebra entre los árabes: los enfoques de Al Khwarizmi, Tabit ben Qurra y Ornar Khayyam . 53 2.5.1 Muhammad ben Musa al-Khwarizmi 2.5.2 Tabit ben Qurra 2.5.3 Ornar Khayyam 2.6 Contribución de Leonardo de Pisa 2.6 .1 Nuevas direcciones en la construcción de significado 59 2.6.2 Rafael Bombelli . 61 2.6.3 John Wallis 62 2.7 Perspectivas modernas de la ecuación cuadrática 64 2.7.1 Ecuaciones de segundo grado 64 2.7.2 Caracterización de las raíces de la ecuación cuadrática 65 2.7 .3 Relación entre raíces y coeficientes de la ecuación cuadrática . . . 66 2.7.4 Aplicaciones elementales. 67 2.7.5 Solución por factorización 69 2.7 .6 Soluciones geométricas y gráficas de la ecuación cuadrática. . . 71 2.7.7 Soluciones complejas de la ecuación X2 + bx + e = O 74 2.8 Ecuaciones diofánticas cuadráticas 75 2.8.1 Solución por fracciones continuas de la ecuación x2_ 2y2 = ±l. 75 2.9 La ecuación de Pello 2.9.1 Solución de x2 - Dy2 = ±1 con D =j:. n 2 2.10 Estudio de algunos problemas de Diofanto 2.11 Problemas del capítulo . . . 3 Ecuaciones cúbicas y cuárticas 3.1 Ornar Khayyam . . . . 3.1.1 Limitaciones del enfoque geométrico 3.2 Ecuación de tercer grado .......... . 87 88 3.2.1 El Ars Magna de Girolamo Cardano . . . . . . . .. 88 3.2.2 La fórmula general de solución de la ecuación de tercer grado ... . . . . . . . . . . 91 3.3 Solución de la ecuación de cuarto grado 95 3.4 Una idea genial y una observación clave de Francois Viete 98 3.5 Otros métodos de solución de la ecuación cuártica .... 100 3.6 Caracterización de las raíces de la cúbica y la cuártica usando el discriminante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 101 3.6.1 Problemas propuestos 104 3.7 Relaciones entre los coeficientes y las raíces de una ecuación cúbica o cuártica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104 3.7.1 Aplicaciones. 3.8 El método de descenso infinito. 105 107 3.8.1 El método de descenso infinito y un problema de representación cuadrática . . . . . . . . . . 110 3.8.2 Demostración por contraejemplo mínimo. 111 3.9 Problemas del capítulo 113 4 Teoría de ecuaciones 115 4.1 La generación de nuevos métodos y la búsqueda de resultados más generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.1.1 Consideraciones acerca de las relaciones de Viete 115 4.1.2 Pierre de Fermat, René Descartes y sus contemporáneos117 4.2 La ecuación polinómica general . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.2.1 Problemas cuya solución está basada en las relaciones de Viete ......................... 120 4.2.2 ¿Los problemas para qué?: un primer problema para escudriñar. ........... 121 4.2.3 Un nuevo problema de interés. 124 4.3 Del álgebra al cálculo .......... 126 4.3.1 El Teorema del Binomio y sus extensiones 126 4.3.2 El triángulo de Pascal .. 127 4.3.3 Las relaciones de Newton 129 4.3.4 Uso de las fórmulas de Newton en la solución de problemas ..... 131 4.4 Del cálculo al álgebra 132 4.4 .1 Caracterización y distribución de las raíces de un polinomio . . . 132 4.4 .2 Raíces múltiples 133 4.4.3 El Teorema de Rolle 135 4.4.4 Regla de signos de Descartes 135 4.4.5 Raíces complejas de un polinomio 137 4.4.6 El Teorema de Sturm 138 4.5 Raíces enteras y racionales .. 139 4.5.1 Raíces enteras de una ecuación polinómica con coeficientes enteros ........ . . .. .... ... .. 139 4.5.2 Raíces racionales de una ecuación polinómica con coeficientes enteros . . . . . . . . . . 140 4.6 Mas contribuciones del álgebra al cálculo . 141 4.6 .1 Generalizaciones intuitivas que conllevan series y productos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.6 .2 Generalización a suma de las k-ésimas potencias 145 4.6.3 El trabajo de Newton con series infinitas . 145 4.6.4 Generalización del Teorema del Binomio 148 4.6.5 Algunas consideraciones finales 150 4.7 Problemas del capítulo .. .. .. .. . 151 5 Métodos numéricos en la solución de una ecuación polinómica 153 5.1 Solución de una ecuación polinómica por factorización 153 5.2 Aproximación de las raíces reales de una ecuación polinómica 155 5.2.1 Los métodos aproximativos tienen una larga historia 155 5.2.2 Método de Horner . . . . . . . . . . . . . . 157 5.2.3 Métodos que utilizan conceptos del cálculo 159 5.2.4 Método del "exceso" y el "defecto" . . . . . 160 5.2.5 El método de tangentes y el método de cuerdas 161 5.2.6 Método de interpolación lineal 162 5.2.7 Método de Lobacevskii. . . . . 162 5.2.8 Métodos numéricos en el siglo XX 164 5.3 Estatus teórico de los métodos numéricos 5.4 Problemas del capítulo . . ....... . . 6 Teoría de Grupos 6.1 Ley de composición interna 6.2 Grupos 6.2.1 Otros ejemplos de grupos 6.2.2 Tablas de grupos finitos 6.3 Subgrupos. . . .. .. 6.3.1 Grupos cíclicos 173 180 181 187 193 200 6.3 .2 Caracterización de los subgrupos de un grupo cíclico. 202 6.4 Generación de grupos . . .......... . ..... .. . 206 6.5 Hacia un recíproco del Teorema de Lagrange en grupos cíclicos209 6.6 Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212 6.6.1 La transformación de un subgrupo dado: subgrupos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 215 6.7 Aplicaciones que preservan estructura. Homomorfismos de grupos . . . . . 6.8 Permutaciones 6.9 Problemas del capítulo 7 Teoría de Anillos 7.1 Anillos .. .. . 7.1.1 Característica de un anillo . 7.2 Subanillos .. .. .... ... .. . 7.3 Hacia la construcción de nuevas estructuras . 7.3.1 Ideales . .. . . . . ... . 7.3.2 Homomorfismos de anillos 7.3.3 Anillo cociente ... 7.3.4 Cuerpo de cocientes 7.3.5 Otros ideales especiales 7.4 Divisibilidad en anillos . . . . . 7.5 7.4.1 Elementos primos e irreducibles . Problemas del capítulo 8 Anillos de polinomios 8.1 Una teoría de polinomios 8.2 Factorización de polinomios sobre un campo. 8.2.1 Polinomios sobre el campo racional y la factorización 6.1 Ley de composición interna 6.2 Grupos 6.2.1 Otros ejemplos de grupos 6.2.2 Tablas de grupos finitos 6.3 Subgrupos. . . .. .. 6.3.1 Grupos cíclicos 6.3 .2 Caracterización de los subgrupos de un grupo cíclico. 202 6.4 Generación de grupos . . .......... . ..... .. . 206 6.5 Hacia un recíproco del Teorema de Lagrange en grupos cíclicos209 6.6 Subgrupos Normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 212 6.6.1 La transformación de un subgrupo dado: subgrupos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 215 6.7 Aplicaciones que preservan estructura. Homomorfismos de grupos . . . . . 6.8 Permutaciones 6.9 Problemas del capítulo 7 Teoría de Anillos 7.1 Anillos .. .. . 7.1.1 Característica de un anillo . 7.2 Subanillos .. .. .... ... .. . 7.3 Hacia la construcción de nuevas estructuras . 7.3.1 Ideales . .. . . . . ... . 7.3.2 Homomorfismos de anillos 7.3.3 Anillo cociente ... 7.3.4 Cuerpo de cocientes 7.3.5 Otros ideales especiales 7.4 Divisibilidad en anillos . . . . . 7.5 7.4.1 Elementos primos e irreducibles . Problemas del capítulo 8 Anillos de polinomios 8.1 Una teoría de polinomios 8.2 Factorización de polinomios sobre un campo. 8.2.1 Polinomios sobre el campo racional y la factorización de polinomios en Z[x]. . . . . . . . . . . . . . . . .. . 282 10.2.4 El grupo de Galois . . . . . . . . . . . . . . 347 10.2.5 Automorfismos de las extensiones radicales 350 10.2.6 Preparativos para el Teorema Fundamental de la teoría de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 352 10.2.7 La estructura de las extensiones radicales . . . . .. 359 10.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361 10.3.1 La no existencia de solución por radicales para la ecuación general de grado mayor o igual a 5 . .. . '. 361 10.3.2 El problema de las construcciones: los problemas clásicos362 10.3.3 Construcción de polígonos regulares 10.4 Conclusiones . .. .. 10.5 Problemas del capítulo2 vol.application/pdfspaInforme de investigaciónEcuaciones linealesMatemáticasEcuacionesÁlgebraProyectos de investigacióninfo:eu-repo/semantics/openAccessAtribución 4.0 Internacional (CC BY 4.0)Teoria de grupos